为什么正多面体只有5种 正多面体只有5种证明

1．证明：设正多面体的每个面是正n边行，每个顶点是m条棱，于是，棱数E应是F（面数）与n的积的一半，即Nf=2E（1式）。同时，E应是V（顶点数）与M的积的一半，即mV=2E（2式）。由1式、2式，得，F=2E/n, V=2E/m，代入欧拉公式V+F-E=2，有2E/m+2E/n-E=2整理后，得1/m+1/n=1/2+1/E。

2．由于E是正整数，所以1/E>0。因此1/m+1/n>1/2（3式），3式说明m,n不能同是大于3，否则3式不成立。另一方面，由于m和n的意义（正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数）知，m>=3且n>=3。因此m和n至少有一个等于3。

3．当m=3时，因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数，所以n只能是3，4，5。

4．同理n=3，m也只能是3，4，5，所以n m 类型，3 3 正四面体，4 3 正六面体，3 4 正八面体，5 3 正十二面体，3 5 正二十面体，由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出，而不可能有其他种类的正多面体，所以正多面体只有5种。